Analyse structurelle de l’influence du bruit sur l’arbre alpha
Baptiste ESTEBAN Guillaume TOCHON Edwin CARLINET Didier VERNA
Laboratoire de Recherche de l’EPITA (LRE), 14-16 Rue Voltaire, 94270 Le Kremlin-Bicêtre, France
Résumé – L’arbre alpha est une représentation hiérarchique utilisée dans divers traitements d’une image tels que la segmentation
ou la simplification. Ces traitements sont néanmoins sensibles au bruit, ce qui nécessite parfois de les adapter. Or, l’influence du
bruit sur la structure de l’arbre alpha n’a été que peu étudiée dans la littérature. Ainsi, nous proposons une étude de l’impact du bruit
en fonction de son niveau sur la structure de l’arbre. De plus, nous étendons cette étude à la persistance des nœuds de l’arbre en
fonction d’une énergie donnée, et nous concluons que certaines fonctionnelles sont plus sensibles au bruit que d’autres.
Abstract – The alpha tree is a hierarchical representation used in different kinds of image processes such as segmentation or
simplification. Furthermore, these processes are sensitive to noise. However, the noise impact on the alpha tree structure has been
little investigated. Thus, we propose a study of the noise noise impact related to its level on the tree structure. Moreover, we extend
this study to the persistence of the tree nodes, and we conclude that some functionals are more sensitive to noise than others.
1 Introduction
Les représentations hiérarchiques sont des outils très utilisés en
traitement d’images. Elles sont divisées en deux catégories [
1
] :
les hiérarchies d’inclusion et les hiérarchies de partitions. Les
hiérarchies d’inclusion représentent diverses relations entre les
composantes connexes d’une image alors que les hiérarchies
de partitions représentent l’empilement de plusieurs partitions
dont les régions sont obtenues en respectant un critère donné.
Dans cet article, nous étudions les hiérarchies de partitions, et
plus particulièrement l’arbre alpha [
8
]. Cette représentation
est utilisée pour plusieurs traitements tels que la segmentation
ou la simplification [
6
] et constitue le fondement de plusieurs
hiérarchies plus avancées [3].
Pour évaluer la qualité des hiérarchies de partitions, un
ensemble de métriques tel que la précision des contours ou des
régions, dans des coupes horizontales et optimales, est proposé
et appliqué aux hiérarchies de lignes de partage des eaux [
7
].
Or, le cas où la hiérarchie est construite sur une image bruitée
n’y est pas étudié. L’impact du bruit est néanmoins exploré
dans le contexte des représentations hiérarchiques [
2
], mais
uniquement pour l’arbre des formes.
Dans cet article, nous menons une étude de l’impact du
bruit sur l’arbre alpha en nous intéressant à ses caractéristiques
structurelles, et nous mettons en relation l’évolution de ces ca-
ractéristiques en fonction du niveau du bruit dégradant l’image
sur laquelle l’arbre a été construit. De plus, nous étudions cet
impact en ce qui concerne la quantité de nœuds non persistants
lorsque l’arbre alpha est transformé en hiérarchie persistante
en fonction d’une énergie donnée.
Cet article est structuré de la manière suivante : dans la
section 2, nous définissons l’arbre alpha puis nous expliquons
le principe de hiérarchie persistante en fonction d’une énergie.
Nous étudions l’impact du bruit sur la structure de l’arbre alpha
en section 3. La section 4 étend cette étude à la persistance des
nœuds de l’arbre. Nous concluons cette étude et donnons ses
perspectives en section 5.
4 7 3 2
1 2 5 3
1 1 5 7
(a) Une image f
1 1 1 2 7 4 7 5 5 3 3 2
0
1
2
3
(b) Arbre alpha
1 1 5 7
1 2 5 3
4 7 3 2
(c) 1-partition
FIGURE 1 : Illustration de l’arbre alpha
2 Représentations hiérarchiques
2.1 L’arbre alpha
Soit
f : Ω → I
une image définie sur un domaine
Ω
dont les éléments ont une valeur dans
I
. Deux points
p, q ∈ Ω
sont dit
α
-connexes s’il existe un chemin
(p → q) = (x
0
= p, ..., x
n−1
= q)
composé de
n
points
consécutifs d’après une relation d’adjacence tel que pour une
mesure de dissimilarité
w
entre 2 points consécutifs
x
i
et
x
i+1
de ce chemin,
w(f(x
i
), f (x
i+1
)) ≤ α
. Une
α
-composante
connexe est une composante connexe composée de points
α
-
connexes. De ce fait, une
0
-composante connexe est une zone
plate de l’image. Une
α
-partition
α
-P est un ensemble d’
α
-
composantes connexes disjointes dont l’union est
Ω
. Ainsi,
l’arbre alpha, dénoté par
T
α
, est la représentation arborescente
de la hiérarchie
H
α
= (α
0
-P, ..., α
m−1
-P)
, composée des
m
α
-partition d’une image, pour laquelle chaque nœud représente
une
α
-composante connexe étant la fusion des
α
-composantes
connexes représentées par ses enfants.
Ces concepts sont illustrés en Figure 1. L’arbre alpha est
construit sur l’image de la Figure 1a en utilisant une dissimi-
larité
L
1
et est représenté sous la forme d’un dendrogramme
en Figure 1b. Chaque pixel de l’image est en feuille et chaque
nœud interne représente la fusion de deux ou plusieurs élé-
ments. Les valeurs en rouge à gauche de l’arbre représentent
la valeur
α
de chaque
α
-composante connexe. Finalement, la
1-partition de la hiérarchie est donnée en Figure 1c.
0
1 1
2 2
3 3 2 1 2 3 3 3
FIGURE 2 : Profondeur des nœuds de T .
2.2 Les hiérarchies persistantes
Chaque région
R
d’une hiérarchie de partitions apparait dans
une partition pour un certain ensemble continu de valeur
d’échelle associée à la hiérarchie. Ainsi, il est possible de
définir un intervalle
Λ(R) = [λ
+
(R), λ
−
(R)[
représentant cet
ensemble, nommé intervalle de persistance, où
λ
+
(R)
est
l’échelle d’apparition de
R
et
λ
−
(R)
est son échelle de dis-
parition. Ainsi, pour une région
R
α
représentée par un nœud
r
α
d’un arbre alpha
T
α
,
λ
+
(R
α
)
est la valeur
α
associée à
r
α
et
λ
−
(R
α
)
est la valeur
α
associée à la région représentée par
le nœud parent de
r
α
dans
T
α
. L’échelle de disparition de la
région représentée par la racine de T
α
vaut +∞.
De nombreuses approches en traitement d’image pour des
problèmes de segmentation ou de débruitage s’appuient sur
la minimisation d’une énergie donnée. Guigues et al. [
4
] pro-
posent d’appliquer ce principe aux hiérarchies de partitions
pour obtenir une coupe
ζ
de la hiérarchie, représentant un
ensemble de régions disjointes
R
i
appartenant à la hiérarchie
avec
∪R
i
= Ω
, qui est optimale en fonction d’une énergie
séparable de la forme
E
λ
(C) =
X
R
i
∈ζ
D(R
i
) + λ
X
R
i
∈ζ
C(R
i
)
avec
D(R
i
)
un terme d’attache aux données de
R
i
,
C(R
i
)
un terme de régularisation et
λ
un paramètre de cette énergie.
Ainsi, en faisant varier
λ
, différentes coupes optimales d’une
hiérarchie sont obtenues. Ce paramètre devient un paramètre
d’échelle et il est possible d’obtenir un intervalle de persistance
pour chaque nœud par le biais d’un problème de program-
mation dynamique fonctionnelle [
4
] en soumettant à chaque
nœud
r
de l’arbre une énergie
E
r
(λ) = λC(r) + D(r)
. Ce
procédé fait apparaitre des nœuds non persistants qui n’appar-
tiennent à aucune coupe optimale, avec
λ
−
(r) ≤ λ
+
(r)
, qui
sont supprimés de la hiérarchie, résultant en une hiérarchie
persistante.
3 Impact du bruit sur la structure
Dans la suite de cet article, une image bruitée est définie par
f
σ
= f + n
σ
avec
n
σ
un tirage de valeurs à partir d’une loi
normale
N (0, σ
2
)
. L’image constante
f
c
est une version parti-
culière de
f
telle que
∀p ∈ Ω, f
c
(p) = c
, et sa version bruitée
est dénotée par
f
c,σ
. Dans l’ensemble des expérimentations
menées, l’ensemble de valeurs
I
est inclu ou égale à
J0 −255K
,
avec une saturation en cas de dépassement. L’ensemble des
150 images naturelles utilisées provient de la base d’images
de Laurent CONDAT
1
.
1
https://lcondat.github.io/imagebase.html
0 25 50 75 100 125 150 175 200
Profondeur
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
Nombre de n uds
20
40
60
80
100
120
140
Écart-type
FIGURE 3 : Distribution h
c,σ
.
3.1 Étude à partir d’une image constante
L’attribut structurel étudié est la profondeur
P
T
(r)
de chaque
nœud r d’un arbre T , définie par
P
T
(r) =
(
0 si r est la racine de T
P(r
p
) + 1 sinon
avec
r
p
le nœud parent de
r
dans
T
. Cet attribut est illus-
tré par la Figure 2, où la profondeur de chaque nœud
est son étiquette. La distribution de la profondeur des
nœuds de l’arbre
T
est étudiée pour évaluer l’impact
du bruit sur sa structure. Cette distribution est obtenue
par le biais d’un histogramme
h(d) = |{r ∈ T |P
T
(r) = d}|
pour chaque profondeur
d ∈ P
T
. Le mode de
h
est dé-
fini par
m(h) = argmax
d∈P
T
h(d)
et la moyenne de
h
par
µ(h) =
1
|P
T
|
P
d∈P
T
h(d)
. Les distributions de la profondeur
des arbres alpha construits sur
f
σ
et
f
c,σ
sont respectivement
dénotées par h
σ
et h
c,σ
.
Dans cette partie, les distributions des profondeurs de l’arbre
alpha sont construites sur un ensemble d’images
f
c,σ
, avec
σ
variant entre 1 et 150. Cela permet d’étudier le cas où un arbre
alpha est construit sur une image ne contenant que du bruit,
sans aucune autre information de texture. Ces distributions
sont affichées en Figure 3. Dans cette figure, les histogrammes
h
c,σ
sont affichés sous la forme de courbe, dont la couleur
représente le paramètre
σ
du bruit contenu dans
f
c,σ
et dont
l’intensité est indiquée dans la barre de couleur.
Cette figure donne plusieurs informations sur l’évolution de
la structure de l’arbre en fonction du bruit. Premièrement, au
fur et à mesure que le niveau de bruit augmente, la distribution
des profondeurs prend la forme d’une distribution à queue
pour des nœuds à faibles profondeurs. Ces nœuds sont le
produit de la fusion entre une
α
-composante connexe et de
petites régions, généralement de la taille d’un pixel et avec des
valeurs très éloignées de celles de la composante. Ensuite, ces
courbes indiquent un accroissement du mode de la distribution
quand le bruit augmente jusqu’à un certain niveau de bruit,
puis une décroissance de ce mode à très fort niveau de bruit.
Cette décroissance est due au rognage des valeurs aux bornes
de
I
lors du bruitage d’une image, celui-ci pouvant créer de
nouvelles zones plates.
3.2 Comparaison avec des images naturelles
Dans cette partie, l’impact du bruit sur la structure d’un arbre
construit à partir d’une image naturelle
f
σ
est comparé aux
résultats de la partie précédente sur un arbre construit sur
f
c,σ
.
(a) Image texturée
0 50 100 150 200 250
Profondeur
0
5000
10000
15000
20000
Nombre de n uds
20
40
60
80
100
120
140
Écart-type
(b) Distributions h
σ
de l’arbre de (a)
(c) Image sombre
0 50 100 150 200 250
Profondeur
0
5000
10000
15000
20000
25000
Nombre de n uds
20
40
60
80
100
120
140
Écart-type
(d) Distributions h
σ
de l’arbre de (c)
FIGURE 4 : Distributions de la profondeur des arbres alpha
construits à partir de deux images aux propriétés différentes.
Tout d’abord, l’évolution des distributions de la profondeur
h
σ
obtenues à partir des arbres alpha construits sur les images
des Figures 4a et 4c est observée respectivement dans les Fi-
gures 4b et 4d. Ces deux images possèdent des caractéristiques
intéressantes dans l’étude du bruit telles qu’une forte texture
ou une faible luminosité, éléments d’une image suceptibles de
se mélanger avec le bruit. Pour étudier l’évolution de l’impact
structurel, les distributions des profondeurs obtenues à partir
des arbres alpha construits sur ces images sont observées de
manière similaire à celle de la partie précédente.
Ces deux ensembles de distributions ont un comportement
similaire à la distribution de l’arbre alpha construit sur
f
c,σ
.
Premièrement, le mode des distributions évolue de manière
croissante quand le niveau de bruit augmente jusqu’à un cer-
tain niveau
σ
, puis décroît lentement. Ensuite, la variance de
chaque distribution a une croissance concomitante avec l’évo-
lution du niveau de bruit. Néanmoins, certaines différences
sont observables entre les distributions
h
σ
, mais aussi avec
h
c,σ
. Premièrement, le mode des distributions à faibles niveaux
de bruit est plus élevé pour
h
σ
que ceux de
h
c,σ
. Cela est due
au contenu de l’image naturelle qui, contrairement à
f
c
, pos-
sède de la texture. Par conséquent, pour
σ
suffisament faible,
le contenu de l’image reste prédominant, comme le montrent
les distributions
h
σ
possèdant des modes similaires. Enfin, les
distributions de la Figure 4d montrent que pour une image
sombre, la variance des profondeurs des nœuds à forts niveaux
de bruit est plus élevée, cela montrant l’impact du bruit sur des
arbres construit à partir d’images ayant une faible luminosité.
Après l’analyse de l’impact du bruit sur la structure des
arbres construits sur ces deux images, l’ensemble de la base
d’images est utilisé. Pour cela, un arbre alpha est construit sur
f
σ
et la moyenne
µ(h
σ
)
de la distribution de profondeur
h
σ
est
calculée. Cela est effectué
N
fois pour chaque image afin d’ob-
tenir la moyenne
M(σ) =
1
N
P
N−1
i=0
µ((h
σ
)
i
)
, avec
(h
σ
)
i
la
i
ème
distribution des profondeurs. Ce procédé est réalisé sur
chaque image donnée de la base pour chaque niveau de bruit
σ
variant entre 1 et 150, résultant ainsi des courbes de la Figure 5.
Chaque courbe en tiret illustre l’évolution de la profondeur
moyenne d’une hiérarchie pour une image en fonction du bruit.
La courbe en rouge illustre la même expérience sur
f
c,σ
pour
comparer les arbres alpha des images bruitées avec celles du
20 40 60 80 100 120 140
0
50
100
150
200
Écart-type σ
Moyenne M
M(σ) pour f
σ
M(σ) pour f
c,σ
FIGURE 5 : Comparaison de l’évolution des profondeurs
moyennes sur l’ensemble des images de la base d’image avec
les images constantes bruitées.
bruit. Les moyennes
M(σ)
, à faibles niveaux de bruit
σ
, sont
beaucoup plus élevées que pour l’image constante. Cette évo-
lution est vraie pour une majorité des moyennes sur tous les
niveaux de bruit. Ainsi, on en déduit que malgré le bruit, le
contenu de l’image a toujours un impact sur les profondeurs
de l’arbre alpha
T
α
, comme évoqué précédemment. Enfin,
pour toutes les images, on observe qu’à un certain niveau de
bruit, les courbes de
M(σ)
décroissent. Cela peut venir du
bornage, tel qu’observé sur les distributions des profondeurs
des nœuds de T
α
.
4 Impact sur la persistance des nœuds
Dans cette partie, son étude s’effectue dans le contexte du
passage d’un arbre alpha à une hiérarchie persistante en fonc-
tion d’une énergie affine donnée. Dans un premier temps, la
fonctionnelle de Mumford-Shah constante par morceaux [
5
]
est utilisée. Pour un nœud
r
de
T
α
représentant une région
R
de f, elle est définie par
E
ms,r
(λ) =
X
p∈R
(f(p) −
˜
f(p))
2
+ λ |∂R|
avec
˜
f
la moyenne des valeurs de la région
R
et
∂R
l’ensemble
des éléments aux contours de l’image. Cette fonctionnelle est
ensuite modifiée pour utiliser la somme des valeurs du gradient
aux contours d’une région au lieu de la taille de ces contours.
Cette fonctionnelle, dénotée par E
cs,r
, est définie par
E
cs,r
(λ) =
X
p∈R
(f(p) −
˜
f(p))
2
+ λ
X
p∈∂R
g(p)
avec
g
l’ensemble des valeurs aux contours de l’image calcu-
lées en utilisant la fonction de dissimilarité
w
entre deux pixels
adjacents servant à construire
T
α
. Ce changement de terme
de régularisation se justifie par le fait qu’une région avec une
faible variance mais un fort gradient le long de son contour
est très probablement contrastée par rapport à son voisinage et
donc plus suceptible d’être moins impactée par le bruit dans
l’image à partir de laquelle l’arbre alpha est construit.
Pour comparer ces deux fonctionnelles, mais surtout l’im-
pact du bruit sur la persistance des nœuds de l’arbre, le pour-
centage de nœuds non persistants par rapport aux énergies
E
ms,r
et
E
cs,r
en fonction du niveau de bruit
σ
est calculé à
20 40 60 80 100 120 140
10
20
30
40
50
60
70
80
´
Ecart-type σ
% de nœuds non persistants
Pourcentage de nœuds non persistants avec E
ms,r
Pourcentage de nœuds non persistants avec E
cs,r
FIGURE 6 : Évolution du pourcentage de nœuds non persistants
d’un arbre alpha en fonction du niveau de bruit σ.
FIGURE 7 : Pourcentage de nœuds non persistants en fonction
du niveau de bruit (avec E
ms,r
).
partir d’un arbre alpha construit sur l’image de la Figure 4a et
affiché dans la Figure 6. Ces courbes montrent un comporte-
ment similaire aux deux fonctionnelles : quand le niveau de
bruit augmente, le pourcentage de suppression s’accroît. De
plus, il y a un plus grand nombre de nœuds non persistants
quand
E
cs,r
est utilisée par rapport à
E
ms,r
. Ce pourcentage
est jusqu’à deux fois plus élevé à fort niveaux de bruit pour
E
cs,r
par rapport à E
ms,r
.
Le comportement des courbes de pourcentages de nœuds
non persistants est confirmé sur toute la base d’image et illustré
pour
E
ms,r
et
E
cs,r
respectivement dans les Figures 7 et 8. La
moyenne du nombre de nœuds non persistants à chaque niveau
de bruit est illustré par la courbe bleue. De plus, pour comparer
avec le bruit, ces pourcentages ont aussi été calculés sur des
arbres alpha construits à partir de l’image constante
f
c,σ
et
sont illustrés par les courbes rouges. Ces courbes de nœuds
non persistants dans l’arbre alpha construit à partir de
f
c,σ
ont
des comportements très différents pour un niveau de bruit très
faible : alors que pour
E
ms,r
, le pourcentage de nœuds non per-
sistants est nul, il est proche de 90% pour
E
cs,r
. Cela démontre
que même si le bruit est faible,
E
cs,r
est sensible à celui-ci. En-
fin, à mesure que le niveau de bruit augmente, le pourcentage
de nœud non persistants d’un arbre alpha construit sur
f
c,σ
se
rapproche de la moyenne pour les arbres construits sur
f
σ
, no-
tamment quand
E
cs,r
est utilisée. Cette observation permet de
conclure que
E
cs,r
est plus sensible au bruit structurellement
que E
ms,r
.
FIGURE 8 : Pourcentage de nœuds non persistants en fonction
du niveau de bruit (avec E
cs,r
).
5 Conclusions et perspectives
Nous avons étudié l’impact d’un bruit additif gaussien sur la
structure de l’arbre alpha, notamment en observant l’évolution
de la profondeur de chaque nœud. Nous avons montré la rela-
tion entre la profondeur moyenne de ces nœuds et le niveau
du bruit altérant une image. De plus, nous avons observé que
cette relation varie en fonction du contenu de l’image, notam-
ment lorsque celui-ci est sombre ou texturé. Enfin, nous avons
étendu notre étude à l’optimisation d’une fonction d’énergie
affine sur les nœuds de l’arbre alpha et montré que le bruit
impacte le pourcentage de nœuds non persistant, notamment
dans le cas de l’utilisation de la somme du gradient comme
terme de régularisation. Nous prévoyons d’étendre cette étude
à différents types de bruit puis de la généraliser à différentes
hiérarchies de partition tel que l’arbre
ω
[
8
], les hiérarchies de
lignes de partage des eaux ou les arbres de partition binaire,
mais aussi à des hiérarchies d’inclusion.
Références
[1]
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hierarchies of images : A comprehensive survey. Journal of Imaging,
2018.
[2]
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to additive noise. In Discrete Geometry and Mathematical Morphology,
2021.
[3]
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links between some morphological hierarchies on edge-weighted graphs.
In Mathematical Morphology and Its Applications to Signal and Image
Processing, 2013.
[4]
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sets image analysis. International Journal of Computer Vision, 2006.
[5]
David MUMFORD et Jayant SHAH : Optimal approximations by piecewise
smooth functions and associated variational problems. Communications
on Pure and Applied Mathematics, 1989.
[6]
Benjamin PERRET, Jean COUSTY, Silvio Jamil FERZOLI GUIMARÃES,
Yukiko KENMOCHI et Laurent NAJMAN : Removing non-significant
regions in hierarchical clustering and segmentation. Pattern Recognition
Letters, 2019.
[7]
Benjamin PERRET, Jean COUSTY, Silvio Jamil F. GUIMARÃES et Deise S.
MAIA : Evaluation of hierarchical watersheds. IEEE Transactions on
Image Processing, 2018.
[8]
Pierre SOILLE : Constrained connectivity for hierarchical image parti-
tioning and simplification. IEEE Transactions on Pattern Analysis and
Machine Intelligence, 2008.